NÚMEROS

Correlación. Definición y tipología

Estadística descriptiva. Análisis bivariado correlacional

La correlación es una medida estadística que indica el grado y la dirección en que dos variables varían conjuntamente.

• Dirección positiva (directa): cuando una variable aumenta, la otra tiende a aumentar (p. ej., estatura y peso).
• Dirección negativa (inversa): cuando una variable aumenta, la otra tiende a disminuir (p. ej., velocidad de un vehículo y tiempo necesario para recorrer una distancia fija).
• Dirección nula: no existe una relación lineal observable entre ambas variables (p. ej., número de calzado e inteligencia, si no existe asociación lineal en la población estudiada).

La correlación mide asociación, no causalidad. Que dos variables estén correlacionadas no implica que una sea la causa directa de la otra.

Un coeficiente de correlación es un índice numérico normalizado que cuantifica la fuerza y la dirección de la relación entre dos variables. Muchos de los coeficientes más utilizados están acotados en el intervalo de -1 a +1: +1 indica una asociación positiva perfecta, 0 ausencia de asociación según el tipo de relación que mida el coeficiente y -1 una asociación negativa perfecta.

El tipo de coeficiente adecuado depende principalmente de la escala de medida de las variables (cuantitativa, ordinal o nominal), del tipo de relación que se desea analizar y de determinados supuestos estadísticos. A continuación se resumen algunos de los coeficientes más utilizados según la combinación de variables.

Variables cuantitativas (intervalo o razón)

Pearson (r):

• Uso: evalúa la intensidad y dirección de la relación lineal entre dos variables cuantitativas.
• Supuestos: para la inferencia estadística convencional suelen considerarse la linealidad, la ausencia de valores atípicos influyentes y, dependiendo del procedimiento inferencial empleado, determinados supuestos de normalidad. La normalidad no es necesaria para calcular el coeficiente de Pearson.
• Rango: de -1 a +1.

Spearman (rho o r_s) / Kendall (tau):

• Uso: permiten evaluar asociaciones monótonas y constituyen alternativas a Pearson cuando la relación no es lineal, existen valores ordinales o no resulta adecuado utilizar los supuestos del análisis paramétrico.
• Spearman: se basa en los rangos de las observaciones y resulta especialmente útil para relaciones monótonas.
• Kendall: se basa en la concordancia entre pares de observaciones y puede resultar especialmente apropiado con muestras pequeñas o cuando existen muchos empates.

Variables ordinales (escalas, rangos o ítems de tipo Likert)

Spearman (rho / r_s):

• Uso: evalúa la asociación monótona mediante los rangos. Es apropiado cuando al menos una de las variables es ordinal o cuando se desea analizar variables cuantitativas mediante sus rangos.

Kendall (tau):

• Uso: mide la asociación ordinal a partir de la concordancia y discordancia entre pares de observaciones. Es especialmente útil con muestras pequeñas y situaciones con muchos empates.

Variables categóricas / nominales

V de Cramer (V):

• Uso: mide el grado de asociación entre dos variables nominales en tablas de contingencia de cualquier dimensión (r × c). Se deriva del estadístico chi-cuadrado (χ²).
• Rango: de 0 a 1, donde 0 indica ausencia de asociación y 1 asociación máxima.

Coeficiente Phi (φ):

• Uso: se utiliza para medir la asociación entre dos variables dicotómicas, representadas mediante una tabla de contingencia 2 × 2. Está estrechamente relacionado con el coeficiente de correlación de Pearson para variables binarias.

Coeficiente de contingencia de Pearson (C):

• Uso: mide la asociación entre dos variables nominales a partir del estadístico chi-cuadrado.
• Rango: su límite superior depende del tamaño de la tabla de contingencia, por lo que no siempre puede alcanzar 1.

Combinación de tipos de variables (mixtas)

Biserial puntual (r_pb):

• Uso: mide la asociación entre una variable cuantitativa y una variable dicotómica naturalmente dicotómica (p. ej., respuesta correcta/incorrecta). Es un caso particular del coeficiente de Pearson.

Biserial (r_b):

• Uso: mide la asociación entre una variable cuantitativa y una variable que ha sido artificialmente dicotomizada a partir de una variable continua subyacente (p. ej., aprobado/suspenso a partir de una puntuación continua).

Eta (η):

• Uso: mide la asociación entre una variable cuantitativa y una variable categórica que define diferentes grupos. Permite detectar relaciones que no tienen por qué ser lineales y está relacionado con el análisis de varianza (ANOVA).
• Interpretación: η² puede interpretarse como la proporción de variabilidad de la variable cuantitativa asociada a las diferencias entre grupos.

Rank-biserial (r_rb):

• Uso: mide la asociación entre una variable ordinal o basada en rangos y una variable dicotómica. Se utiliza, entre otros contextos, como medida del tamaño del efecto en comparaciones entre dos grupos mediante procedimientos no paramétricos.

NÚMEROS

Regresión lineal

Estadística descriptiva.Regresión

He dejado el estudio de la regresión lineal para el final de este recorrido por la estadística descriptiva, debido a la posición fronteriza que ocupa entre la estadística descriptiva y la estadística inferencial, pues introduce procedimientos que permiten ir más allá de la mera descripción de los datos.

Dada una distribución bivariada, tanto su representación gráfica como el uso de una serie (ya vista) de estadísticos nos permiten apreciar la existencia de cierto grado de relación entre las dos variables intervinientes. Esta relación puede presentar diferente grado de intensidad, pero su mera existencia no es suficiente para identificarla como lineal. Hablaremos de relación lineal cuando la asociación entre ambas variables pueda ser adecuadamente descrita mediante una función lineal. La representación gráfica de esta función es una recta, de lo que deriva el nombre de regresión lineal.

Cuando no existe relación estadística entre ambas variables, podemos considerarlas independientes. En ese caso, el conocimiento de los valores de una de ellas no proporciona información sobre los valores de la otra y, por tanto, no podemos utilizar una variable para predecir la otra. Debemos tener presente, no obstante, que una relación lineal débil o incluso inexistente no implica necesariamente independencia, ya que puede existir entre las variables una relación de naturaleza no lineal (1).

El objetivo del análisis de regresión es estudiar cómo se relacionan dos o más variables y construir un modelo matemático que permita estimar el valor de una variable a partir de los valores conocidos de otra u otras. En el caso de la regresión lineal, el objetivo es encontrar la recta que mejor se ajuste a la nube de puntos, de acuerdo con un determinado criterio de ajuste, y utilizarla como modelo para realizar estimaciones o predicciones (2).

Se trata, pues, de estimar el comportamiento de una variable a partir de otra. Denominaremos variable dependiente, endógena o explicada a aquella cuyo comportamiento pretendemos estimar, y variable independiente, exógena o explicativa a aquella que utilizamos como referencia para realizar dicha estimación. Sin embargo, en una distribución bivariada no disponemos necesariamente de una relación causal que determine cuál de las dos variables debe desempeñar cada papel. Por ello, podemos plantear dos rectas de regresión: la de una variable sobre la otra y la de la segunda sobre la primera, aunque habitualmente trabajaremos con una de ellas en función del objetivo del análisis.

• y = a + bx (x como variable independiente)
• x = a + by (y como variable independiente)

... siendo (3)...

• y la variable dependiente (valor a predecir)
• x la variable independiente (valor que influye en el valor de y)
• a la ordenada al origen, esto es, valor de y cuando x = 0
• b la pendiente o cambio en y por cada unidad de cambio en x

También debemos asumir que no existe una distribución lineal exacta, que ninguna recta puede pasar por todos los puntos que dibuja la distribución real. Por ello nos vemos limitados a elegir, de entre todas las rectas posibles, aquella que reduce al mínimo el error o diferencia entre el valor real y el esperado (para y, e =yi-yi').

Dado que esta diferencia puede ser positiva o negativa, utilizamos su suma al cuadrado (Sum(yi -yi')² como fórmula para el cálculo del error cuadrático total.

Aceptando como objetivo el error cuadrático mínimo, el problema de la regresión lineal se limita a calcular los valores de a y de b.

• Para a =Md(y) - (Sxy/Sx2) * Md(x)
• Para b = Sxy/Sx2

Propiedades de la regresión lineal:

• La pendiente de la recta y sobre x es la covarianza (CVxy) dividida por la varianza de x, mientras que la pendiente de x sobre y es la covarianza CVxy dividida por la varianza de y
• La recta pasa por el punto formado por las medias Md(x) y Md(y). Este punto se llama centro de gravedad de la distribución bidimensional xy
• El producto de las pendientes de las rectas de regresión es igual al coeficiente de correlación de Pearson al cuadrado (b+b' = r2)

En todo caso, la viabilidad de la recta de regresión como representación de la distribución se obtiene calculando su bondad de ajuste o coeficiente de determinación

NOTAS
¹ Por ahora daremos por válida esta formulación, pero al igual que en el caso de la correlación, también sobre estas cuestiones tendremos que volver más adelante, ya la linealidad no es la única relación posible entre variables. Posiblemente sea la preferida y deseable para ciertos estudios, pero no es la única, como veremos en su momento.
² De ahí que habláramos al inicio de esta entrada de que la regresión lineal no se limitaba a la descripción del comportamiento de una (o dos) variable(s).
³ En otras formulaciones se denominan a y b como alfa y beta o se invierten las posiciones (y = ax + b). En cualquier caso, lo importante es tener claro que la pendiente (para nosotros b) multiplica a la variable independiente y a ello se le suma el valor de la ordenada de origen (para nosotros a).

NÚMEROS

Coeficiente de determinación

Estadística descriptiva. Análisis bivariado

A pesar del interés que tiene la covarianza, en realidad no aporta mucha información sobre la relación entre dos variables. El coeficiente de determinación sí.

Definimos el coeficiente de determinación como la proporción de variabilidad de una variable que es explicada por otra. La primera variable es considerada como variable dependiente (y) y la segunda como variable independiente (x), así que lo anterior equivale a decir que este coeficiente indica el porcentaje de varianza de y que es explicado por x (1).

El coeficiente de determinación se representa como R² (R al cuadrado) y sus valores oscilan entre 0 y 1 (o 0% y 100%), siendo 0 la ausencia de determinación y 1 la determinación plena o perfecta (2).

La fórmula del coeficiente de determinación se describe como el cuadrado de la covarianza dividido por el producto de las varianzas de las variables. Si deseamos expresar el resultado en porcentaje deberemos multiplicarlo por 100.

Aplicando esta fórmula a los datos empleados en la entrada sobre la covarianza y usando los cálculos resueltos en ese momento y la fórmula Calc para la varianza, obtenemos los siguientes resultados:

• Covarianza al cuadrado: 1,209
• Varianza de x : 2,813
• Varianza de y: 1,374
• Coeficiente de determinación: 0,3127 -> 31,27%

La interpretación de estos resultados es la que sigue: La varianza de la variable y está determinada en un 31,27% por la variable x (3).

Al contrario de la covarianza, sí disponemos de una fórmula Calc que nos permite realizar el cálculo del coeficiente de determinación. Es la siguiente: =COEFICIENTE.R2($Datos.$D4:$V4;$Datos.$D3:$V3). Aplicándola obtenemos el mismo resultados: R2 = 0,3127 (4)

NOTAS
¹ Aun no podemos hablar en estos términos, ya que no hemos tratado sobre la regresión, pero también podríamos definir el coeficiente de determinación o variabilidad como la proporción de variabilidad explicado por el modelo de regresión empleado para explicar la relación xy. El coeficiente de regresión es aplicable a cualquier tipo de regresión, no sólo de la lineal.
² Incidiendo de nuevo en el estudio de los modelos de regresión, se suelen recomendar valores superiores a 0,85 (85%) para considerar válida la ecuación obtenida. Si el resultado es menor a 0,60 (60%) se considera que ese modelo (esa ecuación) no es fiable, por lo que se recomienda probar con otra representación.
³ Realmente esto ahora nos importa poco, dado que se trata de un mero ejercicio para la comprensión del coeficiente, pero en otro caso tendríamos que decir que este resultado nos está indicando que la relación xy es una relación débil, positiva pero débil. Podríamos confirmarlo calculando el coeficiente de correlación de Pearson que veremos próximamente (r(xy) = 0,5592)
⁴ En este caso no sería necesario crear una función mediante OOo Basic ya que disponemos de la fórmula y el resultado no ofrece duda al coincidir con el que obtenemos mediante el procedimiento "manual".

NÚMEROS

Covarianza

Estadística descriptiva. Análisis bivariado

La covarianza es un estadístico que nos permite saber con exactitud si existe o no algún tipo de relación entre dos variables. Nos permite concretar lo que indica una tabla de contingencia.

Cuando ambas variables tienden a aumentar simultáneamente se considera que la relación entre ambas es positiva y el resultado del estadístico >0; mientras que si una aumenta y la otra disminuye la relación es negativa y el valor del estadístico se aproxima a <0. Se considera que no existe relación si el comportamiento conjunto es aleatorio. En ese caso es valor del estadístico es 0 o próximo a 0.

Necesitamos disponer de una fórmula que nos permita calcular ese valor numérico. Para ello contamos con dos procedimientos que resumimos en sus fórmulas:

La primera fórmula se refiere al cálculo de la varianza poblacional vs. muestral y diferencia entre la fórmula poblacional...

... también expresada como...

... y la fórmula muestral...

... también expresada como...

En ambos casos, de existir valores de frecuencias superiores a 1, el producto de las diferencias se multiplica por el valor de n(ij) [(x(i)-pm(x))*(y(j)-pm(y)*n(ij)]

Una segunda formulación, simplificada, se expresa como sigue y se identifica como formulación respecto al momento (1)

Veremos a continuación, y en primer lugar, un ejemplo de cálculo manual de la covarianza utilizando precisamente esta última fórmula.

Supongamos el siguiente conjunto de datos derivado del registro de las variables x (horas de asistencia a clase) e y (resultados en un examen) de una determinada asignatura:

Lo primero que hacemos es convertir esta tabla de distribución en una tabla de contingencia en la que hemos obtenido las frecuencias relativas de cada par xy y ordenado los datos a partir de la variable x.

Sobre ella realizaremos el cálculo de los valores xn y yn, necesarios a su vez para el cálculo de los promedios respectivos, y de xyn, que necesitamos en función de la fórmula de la CV a aplicar.

Los resultados obtenidos...

... permiten realizar la siguiente interpretación: La covarianza x-y (CVxy) indica que existe una relación directa entre las horas de asistencia a clase y los resultados en la prueba. Como tendencia se observa que a mayor número de horas de asistencia, mejores resultados.

Realmente nos falta la representación gráfica de estos datos para apreciar mejor la relación que mantienen ambas variables, así que recurrimos a las funciones Calc para crearla obteniendo la siguiente, que no recoge el peso de las frecuencias de cada par xy, pero que nos ofrece una idea aproximada del tipo de relación que mantienen. En el gráfico observamos ciertamente una relación positiva como la descrita antes, aunque bastante matizada en los valores inferiores. Realmente parece que existieran dos realidades: los valores "anómalos" iniciales (1 y 3 sesiones de asistencia) y el resto (a partir de 4), apreciándose que es en esta segunda donde se puede apreciar con mayor seguridad la tendencia que detecta el coeficiente de variación, pero no así en la primera (2).

Si trabajamos con LO-Calc (3) podremos hacer los cálculos necesarios para obtener el CV, pero no disponemos de una función específica para ello, por lo que en realidad para la explicación anterior hemos aprovechado todo lo que Calc nos puede ofrecer: herramientas para el cálculo de las medias y la obtención de los sumatorios (4).

Tampoco con Python obtenemos un resultado inequívoco, salvo que creemos nuestra propia función tomando como referencia una de las fórmulas vistas anteriormente. Lo que sí podemos obtener (en ventaja respecto a OOo Basic) es una matriz de covarianzas, en este caso (xx)-(xy) |(yx)-(yy).

Para la obtener en Python la matriz de covarianzas necesitamos importar numpy y crear un script como el siguiente (5) en el que lo fundamental es la función np_cov()

import numpy as np

x = np.array([6,6,6,1,1,4,4,4,4,4,3,3,5,5,5,5,5,5,8])
y = np.array([6,6,6,5,5,5,5,5,5,5,6,6,5,5,5,5,5,5,10])

cov_matrix = np.cov(x, y, ddof=1)
print(cov_matrix)

El resultado que obtenemos es la matriz de covarianzas antes explicada...

... en la que nos interesan los valores (repetidos (xy)-(yx) que se corresponden con 1.099, resultado muy próximo al que obtuvimos en nuestro cálculo anterior (1,042) (6). En cualquier caso, ambos resultados evidencian lo mismo: Existe cierta tendencia a que x e y se relacionen en términos positivos: a mayor número de horas de asistencia, mejores resultados se obtienen en la prueba. (7).

NOTAS
¹ Así la denominan Ordoñez y González (2021. pg 118)
² De ahí que me refiera a ellos como "anómalos", aunque este calificativo no sea adecuado. Realmente tenemos muy pocos datos (19) como para sacar conclusiones, aunque emplear términos genéricos como "tendencia" y similares sí puede ser correcto.
³ De hecho, como vimos, es el soporte empleado para crear el gráfico, pero también las tablas para realizar los cálculos en el cálculo "manual" de CV.
⁴ Al no existir una fórmula específica para CV es posible que nos interese crearla mediante OOo Basic, pero no es ahora el momento.
⁵ Basado en DataCamp. Tendremos ocasión de trabajar con esta biblioteca con más detalle.
⁶ Confirmo que la diferencia se debe a la fórmula aplicada en el primer cálculo y que el resultado numpy se debe al uso de la fórmula para muestras.
⁷ Recuerda que los datos son inventados, aunque verosímiles, por lo que realmente no estamos afirmando que exista esta relación, aunque entra dentro de lo posible.

NÚMEROS

Tabla de contigencia

Estadística descriptiva. Análisis bivariado

El estudio bivariado o estudio conjunto de dos variables, comienza con el tratamiento de los datos y presentación mediante tablas de contingencia, que es una presentación de los datos en forma de tabla de doble entrada.

Una tabla de contingencia o de frecuencias conjuntas, es una representación en la que los datos son compartidos por dos o más variables. La forma en que se construye depende del tipo de distribución que presenten las variables que contiene, que, como sabemos, son de tres tipos:

• Tipo I - Cada par de valores se presenta una única vez.
• Tipo II - Los pares de valores se presentan más de una vez
• Tipo III - Los valores de las variables se presentan agrupados en intervalos.

Un ejemplo de tabla de contingencia, basada en la distribución de tipo II (la más frecuente) podría ser la que presenta los datos de la variable CURSO y la variable CALIFICACIÓN.

En realidad, lo que esta tabla representa no es un intento de establecer posibles relaciones entre ambas variables, sino, y simplemente, facilitar la lectura de los datos que contiene. Para que una tabla sea realmente una tabla de contingencia, esto es, que permita visualizar la posible relación entre dos variables en los términos "correlacionales" que se le supone, las variables presentes deben ser susceptibles de presentar este tipo de relación. Tal podría ser el caso de variables como tipo de estudios y género del alumnado, por poner un ejemplo en el que sí tiene sentido estudiar posibles relaciones entre variables (1).

Esta tabla muestra el alumnado matriculado en diferentes estudios universitarios en las universidades públicas españolas en el curso 2022/2023, diferenciando por carretas (seleccionadas subjetivamente) y sexo del alumnado. El objetivo en este caso es evidente: analizar la relación entre el tipo de estudio y el género del alumnado con la finalidad de valorar la presencia de sesgos de género (2).

Además las tablas de contingencia permiten observar las distribuciones marginales de las variables representadas, que no son otra cosa que el número de veces que aparece cada una de las variables, con independencia de los valores de las demás (3).

Estos valores marginales son necesarios para el cálculo de los estadísticos univariados de cada una de las variables que contiene la tabla de contingencia, los cuales, a su vez, son necesarios para el cálculo de estadísticos bivariados.

NOTAS Consulta UNIVbase. Ministerio de Ciencia, Innovación y Universidades
¹ Consulta UNIVbase. Ministerio de Ciencia, Innovación y Universidades
² No interesa en esta entrada realizar este estudio, pero los datos recogidos ofrecen información muy interesante para el estudio del sesgo por género en la elección de los estudios universitarios.
³ La forma más sencilla de calcular las distribuciones marginales es ir sumando los valores de las filas y las columnas en la misma tabla de contingencia.

NÚMEROS

Definición y contenidos

Estadística descriptiva. Análisis bivariado

Iniciamos con esta entrada el estudio de las distribuciones bidimensionales o bivariadas, entendiendo por tales aquellas en las que se estudia la incidencia de más de una variable en una distribución y el grado de relación o dependencia que tienen esas variables entre sí, cómo es su relación y qué fuerza tiene.

El estudio de la estadística descriptiva bivariada comprende los siguientes contenidos:

• Las tablas de contingencia
• La covarianza
• La regresión lineal
• La bondad de ajuste (coeficiente de determinación)
• Y los estudios de correlación, destacando el coeficiente de correlación de Pearson.

Dedicaremos las entradas que siguen al estudio de cada uno de estos contenidos, empezando por las tablas de contingencia.