Datos. Estadística

Medidas de forma. Asimetría (II)

El Coeficiente de asimetría de Pearson, a pesar de la frecuencia con la que se usa, presenta ciertas dependencias de las características de la distribución, que hacen que sólo se pueda utilizar en distribuciones uniformas, unimodales (1) y cuando la asimetría es moderada.

Es por ello que cuando se valoran la simetría y la curtosis (2) para contrastar si se puede aceptar una distribución estadística como normal (3), se usa el coeficiente de asimetría de Fisher.

El coeficiente de asimetría de Fisher (AF) se calcula mediante la siguiente fórmula (4):

Veamos un ejemplo para ver cómo se calcula el coeficiente de Fisher.

Supongamos un conjunto de 10 observaciones de las cuales deseamos conocer si su distribución presenta simetría o asimetría sin crear su representación gráfica (curva de frecuencias derivada de su gráfico de barras. 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 | 6.

Primero trabajamos con los datos sin agrupar por frecuencias. Obtenemos los siguientes estadísticos: n = 10 , Pm = 3 , Dt = 3,263. Procedemos a realizar la resta (xi - Pm)^3 y su sumatorio (24). Y dividimos este dato entre el valor n (24/10=2,4). Obtenemos así el valor del tercer momento de la distribución respecto a la media, que dividiremos entre la Dt elevada al cubo (Sx^3), obteniendo como resultado 0,735 (5).

Este resultado indica que este conjunto de datos presenta marcada asimetría positiva (con incidencia de la cola derecha sobre el promedio) (6).

NOTAS

(1) Recuerda que en ese caso se usa la fórmula [3(Pm-M (d)]/Dt, que utiliza un factor de corrección para asemejar el resultado al que se obtendría en caso de que se cumpliera la condición unimodal de la muestra.

(2) De la curtosis hablaremos en entradas posteriores.

(3) Esto es necesario para realizar numerosos contrastes estadísticos dentro de la estadística inferencial.

(4) El numerador coincide con la expresión de tercer momento respecto a la media (mr = (Sum(xi-Pm)^r)/n), que concreta r como elevar al cubo la diferencia xi - Pm. Por el mismo motivo se eleva al cubo la Dt (Sx). Esto permite conservar el signo (+/-)  del resultado, lo que interesa para diferenciar el sesgo hacia la derecha o hacia la izquierda.

(5) Si trabajamos con una tabla de frecuencias, deberemos multiplicar cada par (xi-pm)^3 por su frecuencia (ni), lo que modifica levemente la fórmula del coeficiente AF. En este caso enumerador del tercer momento queda como sigue: Sum(xi-Pm)^3*ni y el tercer momento (Sum(xi-Pm)^3*ni)/n

(6) De hecho, si calculamos los valores mo (2) y md (2,5) y los trasladamos junto con el del promedio al gráfico observaremos que se sitúan de izquierda a derecha como sigue: mo (2) - md(2,5) - pm(3). Esto implica que no coinciden los tres estadísticos de posición central y que la figura que dibuja su gráfico de frecuencias no es simétrica (no se puede dividir en dos partes iguales). El coeficiente de asimetría de Pearson (pm-mo/Dt) da como resultado 0,674.